一笔画先查连通性，再数奇点｜2022云南省考第57题

完整题面

57． 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

原卷页图：核对图表与选项

**第57题选D。**题干五幅图形均为连通图形，都能在不重复描线的条件下一笔画成。四个选项中，A、B、C各有4个奇点，至少需要2笔；D有2个奇点，可以一笔完成。

**首选解法：把图形转成网络。**线端、交叉点和分岔点可以看作顶点，相邻顶点之间的一段线看作边。某个顶点连接几条边，它的度数就是几；度数为奇数的顶点叫奇点。

计数时要区分三种情况：普通转角连接两条边，度数为2；三岔连接处连接三条边，度数为3；两条线正常交叉且相互连通时，交点连接四条边，度数为4。六条线汇合的点同样是偶点。因此，不能把“有交叉”直接理解为“有奇点”，也不能只数露在外面的线头。

本题没有跨线桥或交点不连通的特殊标记，应按普通相交连接处理。完全重合的同一段已画线条只算一条边；走线可以再次经过同一个点，但不能重复经过同一条边。

对于至少含一条边的连通图形：

- 奇点为0个，可以一笔画成，并回到起点。 - 奇点为2个，可以一笔画成，两个奇点分别作为起点和终点。 - 奇点为4个，至少需要2笔；奇点为6个，至少需要3笔。

统一写成：最少笔画数 = max(1，奇点数÷2)。如果图形不连通，应分别计算各部分，再将笔画数相加。

**题干依据在于笔画性质一致。**五幅图形的轮廓、方向和内部线条差异较大，但都连通，且奇点数均满足一笔画条件。尤其是星状图形，虽然交叉较多，仍可构成闭合路线。这提醒我们：规律是“都能一笔画”，不能擅自收窄成“都恰好有两个奇点”。零奇点和两个奇点都符合要求。

**A—D逐项核验：**

选项	连通性	奇点数	最少笔画数	判断
A	连通	4	2	不符合题干的一笔画性质
B	连通	4	2	不符合题干的一笔画性质
C	连通	4	2	不符合题干的一笔画性质
D	连通	2	1	符合，选择D

D的两个奇点分别位于左侧短横线接入竖线的三岔处、右侧斜线接入竖线的三岔处。其余连接点的度数为偶数。A、B、C则各有四个奇点，无法全部由一条连续路线的两个端点承担。

**独立交叉核验：直接构造D的走线。**为减少折角干扰，可以暂时略去只连接两条边的二度点，把经过这些点的线段合并成通路。这样的合并不会改变能否一笔画。

将D左侧的三岔点记为s，右侧的三岔点记为t；将左侧竖线下端的四岔点记为u，右下斜线穿过底横线的四岔点记为v。合并二度点后，s与u之间有两条不同通路，u与v之间有两条不同通路，v与t之间有两条不同通路，s与t之间还有一条通路。

于是可以按“s→u→s→t→v→u→v→t”的顺序走完。相同字母之间再次通行时，使用的是另一条尚未经过的通路，并非重复描线。展开各条通路，就得到覆盖D全部线条的一笔路线。这与奇点计数所得结论相互印证。

还可以从进出配对解释排除理由：连续走过一个中间点时，进入与离开会消耗成对的边；只有路线起点和终点能够各留下一个未配对的边端。A、B、C各有四个奇点，一条路线只有两个端点，因此至少要分成两笔。

**常见错因与迁移方法。**第一，把尖角当成奇点。尖角通常只是二度转角，角度大小不影响奇偶性。第二，只数自由端点，漏掉三岔、五岔等内部奇点。第三，认为经过同一点两次就违规；一笔画限制的是边不能重复，顶点可以重复经过。第四，看到零奇点便忽略连通性：两个互不相接的封闭图形仍然需要两笔。

迁移到新题时，按“查连通—标连接点—数度数—计奇点—验起终点”的顺序处理。遇到新增线条题，只需追踪新增边两端的奇偶性变化；遇到指定起终点题，还要检查它们是否与两个奇点对应。这样既能判断答案，也能说明其他选项为什么不成立。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

以下网络均为教学模拟。用“PQ”表示连接顶点P、Q的一条无向边；不同字母表示不同顶点，除列出的连接关系外不存在其他连接。允许反复经过同一顶点，但每条边必须且只能经过一次。下列哪个网络能够连续一笔画完？

A．顶点为P、Q、R、S；边为PQ、QR、RS、SP、PR、QS。

B．顶点为P、Q、R、S；边为PQ、QR、RS、SP、PR。

C．顶点为P、Q、R、S、T；边为PQ、PR、PS、PT。

D．顶点为P、Q、R、T、U、V；边为PQ、QR、RP、PT、QU、RV。

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答案：B

四个网络均连通。A中P、Q、R、S的度数均为3，共4个奇点，最少2笔。B中P、R的度数为3，Q、S的度数为2，只有2个奇点，可以一笔完成；具体路线为P→Q→R→S→P→R，五条边各经过一次。C中P的度数为4，其余四点的度数均为1，共4个奇点，最少2笔。D中P、Q、R的度数均为3，T、U、V的度数均为1，共6个奇点，最少3笔。因此只有B符合。

迁移维度：将完整边表转化为顶点度数，区分外观复杂程度与最少笔画数。

原创迁移练习2

以下坐标及线段均为教学模拟。在平面上取A(0,0)、B(6,0)、C(6,4)、D(0,4)，画出矩形边界AB、BC、CD、DA。再取E(0,2)、F(6,2)、G(3,0)、H(3,4)，画出线段EF、GH，两线交点为O(3,2)。所有相交处均连通，线段在交点处分成相应的边。要求覆盖全部线条，每条边恰好经过一次，允许重复经过顶点。最少需要几笔？

A．1笔

B．2笔

C．3笔

D．4笔

查看答案与解析

答案：B

网络连通。四个矩形角点A、B、C、D的度数均为2；E、F、G、H各连接两段边界和一段内部线，度数均为3；中心O的度数为4。因此共有4个奇点，最少需要4÷2=2笔。可用两条路线独立核验：第一笔G→A→E→O→F→B→G→O→H→D→E；第二笔F→C→H。两笔合计覆盖全部12条分割后的边，且没有重复。故选B。

迁移维度：根据完整坐标恢复交点关系，区分边界三岔点与内部四岔点，并用实际路线验证。

原创迁移练习3

以下网络为教学模拟，由三个互不相接的部分组成。第一部分的顶点为A、B、C，边为AB、BC、CA。第二部分的顶点为D、E、F、G，边为DE、EF、FG、GD、DF。第三部分的顶点为H、I、J、K、L，边为HI、HJ、HK、HL。不同部分之间没有连接，也不存在未列出的边。每条边必须且只能经过一次，允许在顶点处改变方向，抬笔后可从任意顶点重新起笔。覆盖整个网络最少需要几笔？

A．2笔

B．3笔

C．4笔

D．5笔

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答案：C

必须按连通部分分别计算。第一部分三个点的度数均为2，零奇点，但仍需1笔。第二部分D、F的度数为3，E、G的度数为2，有2个奇点，需1笔。第三部分H的度数为4，I、J、K、L的度数均为1，有4个奇点，需2笔。合计1+1+2=4笔，选C。独立核验可取四条路线：A→B→C→A；D→E→F→G→D→F；I→H→J；K→H→L。它们覆盖全部12条边且互不重复。全图共有6个奇点，但直接用6÷2=3会漏算零奇点的独立闭合部分。

迁移维度：处理不连通网络，识别零奇点分量仍然需要一笔的边界条件。

原创迁移练习4

以下线路为教学模拟。原网络的顶点为P、E、A、F、B、C、D，边为PE、EA、PF、FB、PC、PD，除此之外没有其他连接。现允许增加一条新边，新边只在指定的两个端点接入原网络，其内部不与原网络相接。增加后要求把全部新旧边连续一笔画完，每条边恰好经过一次。下列哪种增加方式可行？

A．增加连接A、B的新边。

B．增加连接A、F的新边。

C．增加连接E、F的新边。

D．增加连接P、A的新边。

查看答案与解析

答案：A

原网络连通，P的度数为4，E、F的度数均为2，A、B、C、D的度数均为1，共4个奇点。增加一条边只会改变其两个端点的度数奇偶性。A连接两个奇点，使A、B变为偶点，只剩C、D两个奇点，可以一笔完成。B使A变为偶点、F变为奇点，仍有4个奇点；C使E、F同时变为奇点，共6个奇点；D使A变为偶点、P变为奇点，仍有4个奇点。只有A可行。路线C→P→E→A→B→F→P→D恰好覆盖增加后的全部7条边，构成独立验证。

迁移维度：利用新增边引起的奇偶变化修复网络，并验证一笔画起终点。

原创迁移练习5

以下网络为教学模拟。顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，全部无向边为AB、BC、CD、DA、AC、CE、EF、FC、EG、GH、HC；除这些边外不存在其他连接。要求连续走完全部边，每条边恰好经过一次，允许重复经过顶点。下列哪一种起点与终点安排可以实现？

A．从C出发，最后回到C。

B．从A出发，最后到达C。

C．从B出发，最后到达E。

D．从E出发，最后到达A。

查看答案与解析

答案：D

网络连通。各点度数分别为：A为3，B为2，C为6，D为2，E为3，F为2，G为2，H为2。因此只有A、E两个奇点，一笔路线必须以它们分别作为起点和终点，方向可以互换。A要求闭合，与存在两个奇点不符；B将偶点C设为终点；C将偶点B设为起点；D符合条件。实际路线E→F→C→E→G→H→C→B→A→D→C→A，恰好经过所列11条边各一次。尤其注意，C虽然连接6条边，仍是偶点，不能因为连接较多就判为奇点。

迁移维度：在一笔画存在的基础上判断指定起终点，识别高偶数度连接点。